Решаването на уравнения в цели числа, социалната мрежа на преподавателите
Решението в цели числа на алгебрични уравнения с две неизвестни, е един от най-старите математически проблеми. Тези задачи са били ангажирани в най-изявените математици на древността, като гръцкия математик Питагор (VI век пр.н.е.), Александрийската математик Diophantus (III век пр.Хр.), Ферма, Л. Ойлер (XVIII век (XVII век.) ) Zh.L.Lagranzh (XVIII век), P.Dirihle (XIX век), K.Gauss (XIX век), P.Chebyshev (XIX в.) и много други.
решения на уравнения в цели числа е важна задача за съвременната математика.
В рамките на подготовката за Олимпийските игри, които участват в състезания, студентите се срещат с задачите на предлагането на уравнение с две променливи. Момчетата имат желание да научат дали тези уравнения може да бъде решен, и какви методи се използват за решаването им, всички те имат алгоритъма решение.
Оттук и категорично целта на изследванията:
- помисли основни техники и методи за решаване на уравнения в цели числа.
Той също така има за цел да:
- повишаване на нивото на математическата култура на учениците;
- да се развиват уменията на независими изследвания в областта на математиката.
reshenie_uravneniy_v_tselyh_chislah.docx
Министерството на образованието на Република Башкортостан
Общински Област Област Zilairsky
Общинска образователна бюджетна институция
"Средно s.Ivano Kuvalat училище"
изследвания на конкуренцията
в рамките на Малкия академия на науките студенти
Република Башкортостан в категория "Математика"
1. Методи за решаване на уравненията в числа. Примери. 4
Метод 1. групиране условия и вземане на общ фактор от скобите 4
Метод 2. Експресия един неизвестен чрез нов избор число част и остатък 5
3. Въвеждане на нов метод за променлива 5
Метод 4. Представяне на лявата страна на уравнението като сума от не-отрицателни условия 6
5. Методът на решение, използвайки свойствата прости числа 7
6. Използване на решението като се вземат предвид гладкост и озадачение експресии 7
Метод 7. Решението като се вземат предвид остатъци от числа деление 8
8. Метод за решаване на уравнение с две променливи като квадрат по отношение на една от променливите 8
Позоваването на 10
1.Gruppirovka условия и вземане на общ фактор от скобите. Разбиване на редица стоеше от дясната страна на уравнението, факторинг. Заключения от лявата страна на уравнението на правилните делителите.
2.Vyrazhenie чрез друг известен, при което избор число част и остатък.
3.Vvedenie нова променлива.
4. Представяне на лявата страна на уравнението като сума от не-отрицателни условия.
5. Разтворът от използването PRIMES свойства.
6. решение като се има предвид паритета и озадачение изрази.
7. Решението като се вземат предвид остатъци от редица дивизия.
8. Разтворът от уравнения с две променливи като квадрат по отношение на една от променливите.
решения на уравнения в цели числа, е един от най-старите математически проблеми. Най-големият разцвет на тази област на математиката е достигнал в древна Гърция. Основният източник, е дошъл до наше време, това е дело на Diophantus - "аритметика". Diophantus обобщи и разшири, докато не натрупа опит в решаването на неопределени уравнения в цели числа.
Най-известният, Diophantus решен е проблемът с "на разширяването на две квадратчета." Това е еквивалентът на добре познатия питагорова теорема. Тази теорема е била известна в Вавилония, може би е било известно, в древен Египет, но за първи път е доказано в Питагоровата училището. Е името на група интересуват от философията на математиката, след като основателят на Питагоровата школа (прибл. 580-500g. Пр.Хр.)
Живот и дело на Diophantus продължи в Александрия, той събира и решава известна и излезе с нови цели. По-късно, той ги комбинират в едно голямо работно заглавие "Аритметика". От тринадесет книги са част от "аритметика", само шест оцелели до Средновековието и се превърна в източник на вдъхновение за математиците на Ренесанса.
- Методи за решаване на уравненията в числа. Примери.
Метод 1. групиране условия и вземане на общ фактор от скобите.
m 2 - п = 2 (т + п) (m - п).
защото m ∈ N. N ∈ Ν М + п> т - п. тук са четири възможни варианта:
Отговор: (1007; 1006); (337; 334); (97; 86); (47; 14)
В Пример 1, I чрез групиране условия и да общ фактор първоначалното уравнение доведе до форма, където е продукт на факторите от лявата страна на уравнението съдържащ неизвестното и правото е число. След това се обмислят всички делителите на числото от дясната страна на уравнението, и прави изводи за лявата страна на уравнението. Също така ние се процедира в пример 2, но се реши в числа.
Пример 2: решаване на уравнението х 2 - х, - х + у = 1, където х и у са цели числа.
х (х - у) - (х - у) = (х - у) (х - 1). 1 = 1 ⋅ 1 = (-1) ⋅ (-1), следователно има две възможни случаи:
Метод 2 е, че ще експресират един неизвестен от друг, и след това изберете число страна, и остатъка.
Пример 3. решаване на уравнение 2 х 2 х 11 + - 2 XY + у = 5, където х и у са цели числа.
2 х + 2 х 11-5 = 2 XY - у. 2 х + 2 х 11-5 = у (х 2 - 1), той
Експресия на 2 х - 1 в цели числа от нула не се обръща. Сега ние трябва да
2 х 2 х 11 + - 5 разделен с остатък х 2 - 1, например, колона. получавам
Тъй х и у - числа, цяло трябва да бъде израз. Това е възможно в два случая, както и кога.
Метод 3 е, че въвеждането на нови променливи за решаването на уравнения в цели числа.
Пример 4. решаване на уравнението 7, (х + у) = 3 (х 2 - Y 2 + XY), където х и у са цели числа.
Нека сумата от х и у е р. и тяхната разлика - р. Следователно X =. Y =.
7 р = 3 ·. т.е. 28, р = 3 (р + р 2 3 2).
стр. Както можем да видим от крайната уравнението, не-отрицателни и се дели на 3, т.е. р = 3 к. к ∈ Ζ.
28 · 3 к = 3 ((3 к) 2 + р 3 2),
28 · 3 к = 3 (к 2 + 9 3 2 р),
28 к = (к 2 + 9 3 2 р),
28, к = 3 + (к 3 2 + Q 2).
к се дели на три, така к = 3 m. m ∈ Ζ.
28 · 3 m = 3 * (3 * (3 м) 2 + Q 2),
28 m = · (3 · (3 m) 2 + Q 2),
28 m = 27 m 2 + р 2. m (28-27 т) р = 2. След 2 р ≥ 0, или m = 0, или m = 1.
Ако m = 0, к = 0, р = 0, р = 0, и, следователно, х = у = 0.
Ако m = 1, к = 3, р = 9, Q 2 = 1. Когато р = 1, х = 5, у = 4, и когато р = 2 - 1,
Метод 4 е да осигури лявата страна на уравнението като сума от не-отрицателни условия.
Пример 5 решаване на уравнението х 2 - 2xy + 2y 2 + 4Y = 33, където х и у са цели числа.
Разпределяне на добра площади:
(X 2 - 2xy + у 2) + (Y 2 + 4Y + 4) = 37;
(X - Y) 2 + (Y + 2) 2 = 37. Тъй х и у - числа, техните квадрати като цели числа. Сумата от квадратите на две числа, равно на 37, се получава, ако се добавя 1 + 36. Следователно:
(X - Y) 2 = 36 и (у + 2) 2 = 1 и (х - у) 2 = 1 и (у + 2) 2 = 36.
Решаването на системата, ние откриваме решения.
5. Методът на решение, използвайки свойствата на простите числа.
Пример 6. решаване на уравнението 19 х + у = 89 1989 в естествени числа.
Препишете го по този начин
X 19-1900 = 89-89 в
19 (х - 100) = 89 (1- ил)
19 и 89 - сравнително премиер, това означава, че равенството е възможно в 3 случая.
а) няма решение, тъй като ∉ Ν; б) х = 11, у = 20; в) х = 100, у = 1.
А: (11; 20); (100 1).
Метод 6 решава уравнението, като се обръща внимание дори и странни изрази.
Пример 7: докаже, че няма решение за уравнението:
х 2 + х + 1 = х (х + 1) + 1. От х (х + 1) - още експресия,
х (х + 1) + 1 - нечетен. Корен квадратен от нечетен брой е броят на нечетен.
По същия начин - нечетно число. Сборът на две нечетни числа дори, тоест, от лявата страна, ние имаме четен брой, както и правото - странно. Отговор: няма никакви решения.
Пример 8. Нека решаване на уравнението в числа х 3 + у 3 - 3 = 2 XY.
Ако х и у са странни, както и един от тях е странно, а след това в лявата част на уравнението е броят на странно и дясно - дори. В този случай, няма решения.
Ако х = 2 и m = 2 п. 8 м 3 + п 3 8-12 TN = 2, т.е.
2 (2 т 3 + п 3 2 - 3 мин) = 1, което е невъзможно при всякакви цели числа m и п.
Отговор: няма никакви решения.
Метод 7. Метод внимание остатъци от разделението.
При решаването на много неопределени уравнения е полезно да се наблюдават останките на разделението на номера с конкретен номер.
Помислете за един пример, който разкрива същността на този метод.
Пример 9. решаване на уравнение в числа 3x - 4Y = 1.
В лявата част на уравнението се дели на 3, следователно, тя е разделена и от дясната страна. Чрез разделянето с остатък теорема в брой или разделено на 3, или когато разделена на 3 дава остатък от 1 или 2. Считаме, три случая.
- Ако у = 3 метра, т Z, тогава 4Y + 1 = 4 · 3 m + 1 = 12 m + 1 не се дели на три.
- Ако у = 3, m + 1, тогава 4Y 1 = 4 · (3 m + 1) = 1 дванадесет m + 5 не се дели на три.
- Ако у = 3, m + 2, след това 4Y 1 = 4 · (3 м + 2) 1 = 12м + 9 дели на три, така 3x = 12м + 9, следователно, х = 4 метра + 3, и у = 3 м + 2.
А: където m Z.
8. Метод за решаване на уравнение с две променливи като квадрат по отношение на една от променливите.
Пример 10. За решаване на уравнението в числа: 5x + 5Y 2 + 2 + 2y-8hu 2х + 2 = 0.
Помислете като квадратно уравнение в х:
5х 2 + (8у - 2) х + 5Y + 2 + 2y 2 = 0
D = (8у - 2) 2 - 4 · 5 (5Y 2 + 2y + 2) = 2 64u - 32u + 4 - 100U 2 - 40U - 40 =
= -36 (Y 2 + 2y + 1) = -36 (Y + 1) 2
Виждаме, че D 0. Ако D