Разтворът на уравнения в цели числа 1
Моята курсова работа е посветена на един от най-интересните части от теорията на числата - решаването на уравнения в цели числа.
Решение в цели числа на алгебрични уравнения с цели коефициенти с повече от един непознат е един от най-трудните проблеми в теорията на числата.
Проблемът за решаване на уравнения в числа напълно разрешени само за уравнения от втора степен в две неизвестни. Имайте предвид, че за уравнения на всяка степен с едно неизвестно то не представлява значителен интерес, тъй като този проблем може да бъде решен с помощта на определен брой проби. За горните уравнения от втора степен с две и повече неизвестни че е много трудно, не само на проблема с намирането на всички решения в цели числа, но дори една проста задача на установяване на наличието на краен или безкраен набор от такива решения.
В моя проект аз се опитах да се очертаят някои от основните резултати, получени в областта на теорията; решаване на уравнения в числа. Теорема формулирани в него, са снабдени с доказателства в случаите, когато доказателствата доста просто.
1. уравнение с едно неизвестно
Помислете първо уравнение степен с едно неизвестно
Нека коефициентите на уравнението
- числа. Ясно е, че решението на този уравнение
е цяло число само когато
дели на
. По този начин уравнение (1) не винаги е разтворим в числа; например, от две уравнения
първият има целия разтвор
, и на второ място в целите числа е нерешим.
Със същото обстоятелство се срещаме в случай на уравнения от степен по-висока от първата: квадратното уравнение
Тя е цяло число решения
в числа е неразрешим, тъй като корените
Проблемът за намиране на корените на уравнението по-голямо от п-та степен с цели коефициенти
т. д. получаване на намаляване броя на не-отрицателни числа.
Тъй като броят на числа, които не надвишават б, не може да бъде безкраен, след това при някои етап образуването на частични коефициенти прекратява поради изчезване на следващия остатък R. нека
- последния ненулев остатъка в серия (5); след това
и алгоритъм на Евклид за номера а и б ще бъде под формата
Ние пренапише уравненията, получени под формата на
в първия ред на тези уравнения съответната стойност от втората стойност на ред
- експресията на третия ред и т. е. се получи разлагане
Изразите получени от продължи фракция чрез изхвърляне на всички единици, като се излиза от определено ниво, наречени подходящите фракции. Първо: конвергентна
превърне от изхвърляне на всички връзки, започващи с
Вторият съгласуваното
Тя получава чрез изхвърляне на всички връзки, започващи с
Този резултат решава проблема с намирането на всички цялостни решения на уравнението от първа степен с две неизвестни. Нека сега разгледаме някои от уравненията на втора степен.
3. ПРИМЕРИ квадратно уравнение с три неизвестни
Пример I. Пример разгледаме втора степен уравнение с три неизвестни:
Геометрични разтвори на това уравнение в числа могат да се тълкуват като намирането на всички питагорейските триъгълници, т. Е. правоъгълен триъгълник в която краката и
се изразява в цели числа.
- всяко решение на уравнение (29). По този начин, ние сме доказали, че ако уравнението (25) има поне един разтвор, след това има безкраен брой от тях.
Не може да се твърди, че формула (31) са всички разтвори на уравнение (25). В теорията на алгебрични числа ние доказахме, че всички разтвори (25) в числа могат да бъдат получени, като ограничен и зависи от определен
броят на решения на това уравнение и ги умножи по формулите (31). Уравнение (25), когато А е отрицателен или равна на квадрата на цяло число може да има само ограничен брой решения. Най-често разтвор на уравнения от втора степен в две неизвестни в числа, уравнения на формата
където цифрите A, B, C, D, E и F - числа намалени чрез замествания на променливи за решаване на уравненията (25) с положително или отрицателно А. Следователно, поведението на разтвори, ако има такива, са същите, както в уравнение тип (25). Обобщавайки всички по-горе, сега можем да кажем, че уравнението на втора степен с две неизвестни тип (32) не може да има решение в цели числа, може да ги има само в краен брой и най-накрая може да има безкраен брой решения и тези решения след това се от определен брой общи геометрична прогресия се дава от (31).
ПРОГРАМА №1 (уравнение с едно неизвестно)