тригонометрични функции

Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълник

За да се определи тригонометрични функции на произволен ъгъл α, да произволно правоъгълен триъгълник с ъгъл α. тази страна на триъгълника ще се нарича, както следва:

Хипотенуза - от противоположната страна на прав ъгъл, най-дългата страна на триъгълника. В този случай, страничната век.

На срещуположната страна - крак, който се намира точно срещу ъгъла. Така например, на крака на - по отношение на срещуположния ъгъл на А.

Съседна страна - крак, който е ъгъл страна. Например, б крак - в близост до ъгъл А.

Предполагаме, че триъгълникът е в евклидовата равнина, така че сумата от ъглите е равен на π. Това означава, че ъглите между краката и хипотенузата са между 0 и π / 2. Използване на определението на формула или преминаване на единица кръг, може да се разшири областта на тригонометричните функции в комплекта на реални числа.
Синуса на ъгъла - отношението на другия крак на хипотенузата: Това съотношение е независим от триъгълника ABC съдържащ ъгъл α, като всички тези триъгълници са сходни.
Косинуса на ъгъла - съотношението на хипотенузата към съседния крака: Тъй като задължително от остър ъгъл на триъгълника е равна на косинуса на втората, и обратно.
На допирателната на ъгъла - съотношението на другия крак към съседен:
Котангенс ъгъл - съотношението на съседната част на крака на противоположната: котангенс един остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е равна на допирателната на втората, и обратно.
Secant ъгъл - съотношението на хипотенузата към съседния крака:






Косеканс ъгъл - съотношението на хипотенузата на другия крак:

Определяне на тригонометрични функции чрез кръга

ъгъл на Secant е съотношението на дължината на сегмента ОА на абсцисата на точка А. Тъй като посочи дължината на ОА на сегмент е 1, Secant равен на реципрочната стойност на косинуса на:

От определението следва, че ако косинуса на ъгъла е нула, тангенс и пресичане на този ъгъл не съществува. По същия начин, за котангенс и косеканс ако синуса на ъгъла е нула, котангенс и косеканс този ъгъл не съществува.

Да предположим, че равнина правоъгълна координатна система определена с произход в точка О и оси ОХ и OY. Потопете се в тази система кръг съгласува с център О и радиус равен на единица. Нека OA сегмент се завърта всеки ъгъл около центъра О.

Синуса на ъгъла е съотношението на ординатата на точка А на дължината на сегмента ОА. Тъй означават дължина на ОА на сегмент е 1,

Косинус на ъгъла е съотношението на абсциса точка А на дължината на сегмента ОА. Тъй означават дължина на ОА на сегмент е 1,

Допирателната ъгълът е съотношението на ордината абсциса точка А до точка А. посочи (на английски литература Тъй като и

Котангенс ъгъл е съотношението на абсциса точка А до точка А. ордината е (на английски литература Тъй като и котангенс е обратна на допирателната:

Косеканс ъгъл е съотношението на дължината на ОА сегмент от ординатата на A. е (на английски литература Тъй като дължината на ОА на сегмент е 1, косеканс равен на реципрочната стойност на синуса на:

Определяне на тригонометрични функции в йерархията

Използване на геометрията и свойствата на граници може да се докаже, че производното на косинуса и синус е равна на производно на косинус е отрицателен задължително. След това можем да използваме теорията на Тейлър серия и на синуса и косинуса на сумата от серията мощност:

С помощта на тези формули и уравнения и да намерите разширяването на Тейлър серия и други тригонометричните функции:

където Bn - Бернули номера.
където Ен - Ойлер номера.

Стойностите на тригонометричните функции на някои ъгли