Разбиване на елементарни функции в Тейлър
32.4. Разбиване на елементарни функции в Тейлър
1.Razlozhenie в брой функция е (х) = е х. Тъй като е (п) (х) = е х. след това, за всяко определено> 0 за всички х (-а, а) и всички п = 1, 2. неравенство
Така, интервалът (-а, а) за функция д х условия на теорема 7 (x0 = 0) и следователно функция е х е разширена в серия Тейлър във всеки краен интервал, а оттам и върху цялата ос. Забележете, че в този случай, е (п) (0) = 1, получаваме (вж. (32,47))
Припомнете си, че в т. 31.1, беше установено, че редица Z п / п. напълно клони на комплексната равнина (въпреки това, той трябва да бъде независим от предишната теорема, според първия Абел и сближаването на доказани тук (32.50) на целия реално число ос). С (32,50) за реално Z = х е равна на сумата д х. В случай на по същество завърши сума Z означават подобен д Z. По този начин, с формула
значително комплексни числа Z е дефиницията на функция е Z на.
От определена функция д Z. ZC. не съвпада само за валиден Z = X известен експоненциална функция е х. но също така запазва в комплекс област имоти показателни за действителното аргумент на функцията. Например,
Всъщност, серията получен от (32,51) на Z = Z1 и Z = Z2. Напълно съм съгласен, така че те могат да се умножат мандат със срок; Е, как да стигна до тази серия също клони абсолютно, неговите членове могат да бъдат подредени в произволен ред. Поставянето на всички условия, съдържащи продукти от Z1 и Z2 градуса със същите темпове сума, равна на п. организира тези групи н възходящ. и след това се размножават и да ги разделя на 1 / п.
2. Разширяването на редиците на х ш и ч х. Смяна във формулата (32,50) х до-x (това означава просто промяна на нотация), получаваме
В страните на дясната страна на тези формули с уникалността на разширения на функции в степенен ред са Тейлър серия от функциите х СН и ш х.
Тъй като функция д Z е определен за всички комплексни стойности на аргумент Z. е на значително по-сложни стойности на аргумента, може да бъде удължен до хиперболична функция гл х и ш х, поставяйки
Някои от функциите по този начин гл и од Z Z Z за комплексна разширена в серия мощност (32.54) и (32.55) (където трябва да напишете вместо х щ), приближаваща комплексната равнина.
3. Разширяването на редиците на греха х и COS х. Формула на Ойлер.
Ако е (п) (х) = грях х. след това е (п) (х) = грях (х + п / 2), п = 1, 2 (виж раздел 11.1 ..), така | е (п) (х) | <1 для всех действительных x. Согласно теореме 7 отсюда следует, что функция sin x раскладывается в степенной ряд на всей действительной числовой оси. Вспомнив формулу Тейлора для синуса (см. п. 14.2), получим для него ряд Тейлора
Спор по подобен начин за COS х и да напомня за тази формула на Тейлър, получаваме
С първата теорема на серия Абел от дясната страна на (32.56) и (32.57) се приближават на целия комплекс самолета. Това позволява да се разшири задължително и косинус стойности на комплекс аргумент на, определяне за всеки комплекс Z
Комплексът лесно се установи връзка между експоненциални и тригонометричните функции. Смяна Z в редица (32,51) на първия Iz. и след това -iz. получаваме
Сравнявайки с тези на формула (32.58) и (32.59), виждаме, че
Чрез определяне СН Z и Z SH стойности за комплексна променлива Z (см. По-горе), формула (32,61) могат да бъдат написани като
Така, в комплекс домейн защото Z може да бъде получена от функция СН Z на с промяна на променливата Z = I, и Z функция грях - SH Z на въртене и също разделение на I:
СН Z = СН I = COS, SH Z = ш I = и син.
От формули (32,61) и следва веднага формула
Уравнения (32.61) и (32.62) се наричат формула на Ойлер. Те, разбира се, важи и за реалната стойност на Z.
Ако във формула (32,62) Z = - реално число, тогава
От това следва, че модулът на комплекс броя на формата, R. е 1:
= (Cos + СИН 2 2) 1/2 = 1.
От формула (32,63) също така следва, че Z е комплексно число с модул и аргумент г, т. Е.
Z = R (+ COS и син), могат да бъдат написани като
Поставянето тук г = 1, =, и следователно, Z = -1, получаваме
- невероятна формула на Ойлер отворени, за създаване на комуникацията между цифрите -1 ,, аз и д. Изненадващо, защото тези номера са открити в изследването на математици доста отдалечени една от друга проблеми: номер -1 се появи, когато стана ясно, че въвеждането на отрицателни числа изваждане има смисъл за всяка наредена двойка числа (в допълнение, се оказа отрицателни числа удобен телесната температура в сравнение с точка на замръзване на водата, когато се измерва височини и вдлъбнатини на приземния спрямо морското равнище и т.н.) ... брой е съотношението на обиколката на диаметъра, имагинерната единица и прави възможно да се реши всеки квадратно уравнение с реални коефициенти, и Е представлява брой на основа на експоненциалната функция, която съвпада с негово производно в него. Затова не е изненадващо, че в град Кингстън в Канада на фасадата на основната сграда на кралицата университет, можете да видите огромен формула на Ойлер: = -1.
От формула (32,63), които неочаквано на пръв поглед, е функция Z имот - е периодично в комплекс равнина и период е равно на 2 и. В действителност, тъй
COS 2 + и син 2 = 1.
След това за всяко Z имаме
От това следва, че обратното на Z функцията функция е означен LN Z и определя от уравнението
Той се намира в комплекс областта на мулти-ценен функция. Поради понятието комплексна променлива д Z експоненциална функция и логаритмична функция LN Z. възможно за всеки комплекс номера Z и W да се определи степента на
Упражнение. Докажете, че всички стойности и аз са реални числа.
От факта, че функцията е Z 2 има период аз. От това следва, че функциите COS Z грях Z и са периодични с период 2 на комплексни стойности на аргумента:
Подобно грях (Z + 2) = грях Z. ZC.
Забележка. Концепцията на комплексна променлива функция е полезна при изучаването на функциите на една реална аргумент, като само истинските ценности. Ние показваме в този пример, изчисление на интеграла. Прилагането формула на Ойлер
(М. При изчисляването на този неразделна в т. 22.4).
4. LN Серията разширение (1 + х). Според формула Тейлър
Ние напише остатък RN (х) на формула под формата на Lagrange. защото
Когато х = -1 серия се различава, тъй като неговите членове само минус различават от представител на серията хармонична, която, както знаем, е за отклоняване. Отклонява от дясната страна на формула (32,66), както и за всички х. голям в абсолютен единична стойност, тъй като в този случай последователността от членовете не изчезват; Освен това,
Ако използваме втората теорема Абел (Sec. 32.1), маркиран със звездичка като опция при понижено програма, а след това Въ функция експанзия (1 + х) в степенен ред може да бъде получена индиректно, но по-къс път. Да разгледаме следния поредицата, която е сума от гледна точка на безкрайна геометрична прогресия:
Редица от дясната страна клони равномерно върху интервала [-q, Q], 0 От единна конвергенция на (32.67) От това следва, че тя може да бъде интегриран termwise от 0 до х (-1,1) (Теорема 8 от Sec. 31.4). Правейки тази интеграция, ние получаваме
или като се определя от дясната страна от знак сумиране,
Така, съгласно горната теорема, серия от дясната страна на това уравнение клони на интервала (-1,1), и въз основа на Лайбниц (теорема 9 от Sec. 30.5) и клони в точка х = 1. Следователно, съгласно втория Abel теоремата (теорема 3 * в т. 32.1), общ брой на LN (1 + х) = (-1) п 1 хп / п непрекъснато в интервала [0,1]. Но тъй като LN функцията (1 + х) е непрекъснато в този интервал, и интервалът (-1,1) е идентична със сумата на поредицата, за отдаване х 1 до получаване на функция LN (1 + х) и сумата от номер (-1) п 1 хп / п съвпадат и когато х = 1. по този начин, ние се върне до разлагането на LN функцията (1 + х) в серия мощност в интервала (-1,1] (вж. (32,66) ).
5. Степента на мощност серия разширяване на биномно. формула Тейлър за функцията има формата
Съответният брой се нарича биномно до индикатора. Той има формата
Ако естествено число, тогава тази серия съдържа само определен брой термини не е равно на 0, и се превръща в известен формула биномно
Предполагаме, че е естествено число, и х 0, а след това всички членове на серията (32.69) не е равен на 0. Нека да разследва неговата абсолютна конвергенция с помощта на тест на Alembert. пускането
Следователно, серията (32.69) клони абсолютно за | х | <1 и, поскольку этот ряд степенной, расходится при |x |> 1. докаже, че сумата от серията (32,69) на интервала (-1,1) е функция. За да направите това, ние разгледа остатък ина (х) във формула Тейлър (32,68), да я пиша под формата на Коши. като
за (х) на фактор е член на биномно серия с индикатор - 1, и тъй като е показано, че всяко биномно серия клони на интервала (-1,1), след това