Основни формули на тригонометрията
Основни формули на тригонометрията. урок №1
Брой формули, използвани в тригонометрия е достатъчно голям (под "формули" не означава определят (например, TGX = sinx / cosx) и уравнението идентичен вид sin2x = 2sinxcosx). За да бъде по-лесна навигация в изобилието на храни, а не за студенти проядени безсмислено гушене, е необходимо да се прави разлика между тях най-важното. Тяхното малко - само три. От тези три формули е последван от всички останали. Това - Питагоровата тригонометрични идентичност и формулата за синус и косинус суми и разлики:
Sin 2 х + защото 2 х = 1 (1)
От тези три формули следват абсолютно всички свойствата на синус и косинус (честотата, степента на периода на задължително стойност 30 0 = π / 6 = 1/2 и т.н.) от тази гледна точка, в училищната програма използва много технически ненужни, излишно информация. По този начин, формулата "1-3" - началник на царство тригонометрични. Нека се обърнем към Формула последици:
Заместването в (2) и (3) стойността на х = у. получаваме:
Cos2x = COS-2 х 2 х грях; cos0 = защото 2 х + грях 2 х = 1
Ние заключи, че sin0 = 0; cos0 = 1, без да се позовава на геометрична интерпретация на синуса и косинуса. По подобен начин, като се използва формулата "2-3" два пъти, ние може да извлече изрази за sin3x; cos3x; sin4x; cos4x т.н.
Sin3x = грях (2х + х) = sin2xcosx + sinxcos2x = 2sinxcos 2 х + sinx (COS-2 х грях 2 х) = 2sinx (1-грях 2 х) + sinx (1-2sin 2 х) = 3sinx-4sin 3 х
Задача за студенти: въвеждат подобни изрази, за да cos3x; sin4x; cos4x
Решаване на обратен проблема, експресиращи степента на синуса и косинуса от косинус и задължително множество ъгли.
Например: cos2x = COS 2 х-грях 2 х = 2cos 2 х-1, следователно: COS 2 х = 1/2 + cos2x / 2
Cos2x = защото 2 х-грях 2 х = 1-2sin 2 х следователно: грях 2 х = половин cos2x / 2
Тези формули се използват много често. За да ги разберем по-добре, аз ги съветвам да представляват графики на лявата и дясната страна. Графики квадратчета косинус и задължително "кордата" около генерирани линия "у = 1/2" (това е средната стойност в продължение на много периоди на стойност х и COS 2 грях 2 х). Честотата на трептенията се удвоява в сравнение с оригинала (периода на функциите защото 2 х грях 2 х е равно на 2π / 2 = π), и амплитудата на колебание се намалява наполовина (1/2 съотношение преди cos2x).
Цел: Да се изразяват 3 х грях; COS 3 х; 4 грях X; COS 4 х чрез множество Sines и уют на ъгли.
Използването на периодичността на тригонометрични функции, което им позволява да се изчисли стойността на всеки четвърти тригонометрични кръг от стойностите през първото тримесечие. Намаляване формули имат много специални случаи "основни" формули (2-3) .Naprimer: COS (х + π / 2) = cosxcos π / 2-sinxsin π / 2 = cosx * 0-sinx * 1 = sinx
По този начин, Cos (х + π / 2) = sinx
Цел: да се въвеждат формули за намаляване на грях (х + π / 2); COS (х + 3 π / 2)
4) формулите за превръщане на сумата или разликата на косинуса и синуса на продукт, и обратно.
Пишем формулата за синуса на сумата и разликата от два ъгъла:
Sin (х + у) = sinxcosy + sinycosx (1)
Sin (X-Y) = sinxcosy-sinycosx (2)
Добави в лявата и дясната страна на тези уравнения:
Sin (х + у) + грях (X-Y) = sinxcosy + sinycosx + sinxcosy -sinycosx
Тези условия отменят, така че:
Sin (х + у) + грях (X-Y) = 2sinxcosy (*)
а) четене (*) се прави:
Sinxcosy = 1/2 (син (х + у) + грях (X-Y)) (4)
Продуктът на Синеш на двата ъгъла, равна на половината на сбора от Синиш на суми, както и различия в ъгли.
б) четене (*) от ляво на дясно е удобен за означаване на:
XY = С. Следователно ние откриваме х и у по отношение на р и а. добавяне и изваждане на лявата и дясната страна на тези две уравнения:
х = (р + в) / 2, у = (В-С) / 2, като се замести в (*) вместо (х + у) и (X-Y), получени нови променливи р и а. представлява сумата от произведението на Синиш:
sinp + Sinc = 2sin (р + в) / 2cos (р-С) / 2 (5)
По този начин, пряко следствие от основната формула за синуса на сумата и разликата на ъглите са два нови връзка (4) и (5).
в) Сега, вместо на сгъване на лявата и дясната страна на уравненията (1) и (2), ние ги изважда една от друга:
грях (х + у) - SIN (X-Y) = 2sinycosx (6)
Четене на идентичност от дясно на ляво резултати във формула подобен на (4), който е безинтересно, защото ние вече знаем как да се изложи на парчета на синуса и косинус синус сума (вж. (4)). Четене (6) дава формулата от ляво на дясно, да се намали разликата в работата на синусите:
sinp - Sinc = 2sin ((р-C) / 2) * COS ((р + в) / 2) (7)
Така че една от основните греха идентичност (х ± у) = sinxcosy ± sinycosx, имаме три нови (4), (5), (7).
Подобна работа се извършва с още основните защото самоличност (х ± у) = cosxcosy ± sinxsiny, вече води до четири нови:
Cosxcosy = Уг (COS (х + у) + COS (X-Y)); cosp + COSC = 2cos ((р + в) / 2) COS ((р-в) / 2);
Sinxsiny = Уг (COS (X-Y) - COS (х + у)); cosp-COSC = -2sin ((р-в) / 2) грях ((р + в) / 2)
Цел: Да се превърнат в сумата на продукта задължително и косинус:
Sinx + удобни =. Решение: ако не се опита да се изведе формулата, но веднага отговори на поглед на някои тригонометрични таблица формули, и не можете да намерите на крайния резултат. Учениците трябва да се разбира, че не е необходимо да се научат и да влезе в таблицата още една формула за sinx + уют = ..., тъй като всеки косинус могат да бъдат представени като задължително и обратно, чрез формулите за редукция, например: sinx = COS (π / 2 - х), уют = грях (π / 2 - у). Следователно: sinx + уют = sinx + грях (π / 2 - у) = 2sin ((х + π / 2 - у) / 2) COS ((х - π / 2 + Y) / 2.
главното меню
125222, град София, а / I 8,
нов сайт
Уважаеми потребители и посетители на сайта.
педагогически списания
Конкурс за учители и възпитатели
Joomla! - безплатен софтуер под лиценза GNU / GPL.
"Списание на учителя онлайн" (удостоверение за масова информация регистрационен номер EL FS 77-42343 от 10.20.10)